Scopri gli "Einstein" e il loro grande mistero matematico

Sono conosciuti come Einstein, non in riferimento al famoso fisico, ma come un gioco di parole sull'espressione tedesca ein stein, che significa una pietra. Anche se in questo caso sarebbe più appropriato tradurlo come una piastrella, riferendosi ad una forma chiusa in grado di rivestire una superficie senza lasciare spazi vuoti. Insomma, una tessera, ma con caratteristiche uniche che hanno portato alla soluzione di uno dei grandi misteri matematici.

Le tessere o tessere di tipo Einstein sono caratterizzate dal fatto di essere aperiodiche, ciò significa che disposte insieme a mosaico, sono in grado di ricoprire integralmente un piano infinito, ma allo stesso tempo, senza formare schemi ripetitivi, quindi che non è possibile discernere alcun tipo di simmetria. Comunque si divida il mosaico, ogni sezione è unica e nessuna ripete lo schema di un'altra. Gli Einstein sono l’equivalente mosaico dei numeri irrazionali.

Questo disegno sembra incredibile o impossibile perché è difficile immaginare che in un'estensione infinita non possano coesistere due regioni o sezioni, per quanto piccole, con lo stesso layout di tassellatura. In effetti, per più di mezzo secolo, i matematici hanno dubitato che ciò fosse possibile. E poi, nel marzo 2023, è stata confermata la scoperta del “cappello”: il fantomatico Einstein.

Non appena è stato presentato al pubblico, il cappello è stato adottato da diversi artisti e creatori come motivo per i loro progetti, alcuni dei quali sono veri e propri giochi. Ad esempio, in questa composizione realizzata dall'artista e matematico americano Robert Fathauer, bisogna identificare quante magliette e quanti cappelli ci sono:

In questo mosaico i cappelli sono stati trasformati in tartarughe e la sfida è identificare l'altra tartaruga riflessa, quella la cui testa è girata a sinistra:

Il problema dell'esistenza o meno di questo tipo di forma iniziò nel 1961, quando il matematico cinese Hao Wang formulò la cosiddetta “congettura di Wang”, in cui suggerì che qualsiasi insieme di forme o tassellazioni in grado di ricoprire uno spazio nella sua interezza consente anche una tassellatura periodica. Questa congettura fu però smentita solo cinque anni dopo, nel 1966, dal matematico Robert Berger, che identificò anche la prima serie di pezzi aperiodici: un “mostro” di 20.426 forme di piastrelle in grado di dimostrare l’aperiodicità.

Da quel momento in poi molti matematici si misero alla scoperta di un insieme di forme sempre più piccolo. Questa ricerca fu condotta nel 1974 dal brillante fisico e matematico Roger Penrose, che presentò un'elegante soluzione basata su due forme molto semplici battezzate “l'aquilone” e “il dardo”.

Il fisico e matematico Roger Penrose presentò un'elegante soluzione basata su due forme molto semplici battezzate “l'aquilone” e “il dardo”. Credito: design proprio

Da allora, nonostante gli sforzi continui, nessuno è riuscito a ridurre al minimo il numero delle forme. Trovare cioè un unico disegno capace di tassellare una superficie infinita senza alcuna periodicità.

In questo gioco, lo scopo è riempire ciascuna tavola incastrando insieme i pezzi che la accompagnano:

Per uno scherzo del destino, pochi mesi fa, nel novembre 2022, David Smith, un appassionato di matematica britannico in pensione, è riuscito a risolvere l’inafferrabile puzzle. Innanzitutto giocando con un programma informatico che gli permetteva di progettare e assemblare forme diverse. Poi, quando ha trovato un progetto promettente, ha ritagliato una serie di pezzi su carta con cui sperimentare. Fu così, quasi come in un gioco da bambini, che scoprì “il cappello”, un poligono di 13 lati sorprendentemente semplice che tuttavia soddisfa i requisiti per essere un Einstein. O meglio, essere il primo Einstein. Questa proprietà è stata appena dimostrata dall'informatico Craig Kaplan – al quale Smith si rivolse quando venne a conoscenza della sua scoperta – in collaborazione con altri matematici, in un articolo che ha rivoluzionato la comunità matematica. Tanto più che il disegno scoperto non è unico, ma solo il primo di un intero continuum di Einstein che si ottengono modificando il rapporto e la dimensione dei lati della forma originaria del cappello.